ATURAN PERKALIAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

 

"Proses Pemilihan Ketua dan Wakil OSIS"

kita hidup pada masa demokrasi dimana selalu diadakan pemilihan untuk menduduki suatu posisi tertentu dalam pemerintahan ataupun lembaga. contoh sederhananya yaitu pemilihan Anggota OSIS dimana setiap warga sekolah diberikan satu suara untuk menentukan calon ketua dan wakil ketua OSIS. sudah seharusnya sebagai warga sekolah yang baik kita memilih diantara calon-calon yang telah memenuhi syarat untuk kita pilih. itu adalah contoh sederhana dari materi yang akan penulis bagikan kepada pembaca.

pada kesempatan kali ini penulis ingin memberikan materi tentang aturan perkalian, aturan penjumlahan, permutasi dan kombinasi.

1.         Aturan Perkalian

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n2 cara, dan setiap kejadian kedua diikuti oleh kejadian ketiga yang terjadi dalam n3 cara, dan seterusnya, dan setiap kejadian ke‐(p-1) diikuti oleh kejadian ke‐p yang terjadi dalam np cara, maka kejadian pertama, kedua, ketiga, ..., ke‐p secara bersama‐sama terjadi dalam (n₁ x n₂ x n₃ x ...x n_p)cara.

contoh :

Dari angka 1, 3, 5, 7, dan 9 akan dibentuk suatu bilangan yang terdiri dari 4 digit. Ada berapa bilangan yang dapat dibentuk bila Angka-angka tersebut tidak boleh berulang.

Jawab:

Maksud dari “angka-angka tersebut tidak boleh berulang” adalah bahwa bilangan yang dibentuk tersebut tidak memiliki 2 digit atau lebih yang angkanya sama (contoh: 1355, 1555, 1995, dan 1771 tidak diperbolehkan).

Maka, jika dibuat kan tabel akan menjadi:

Ribuan	Ratusan	Puluhan	Satuan
5	4	3	2

Digit ribuan memiliki 5 pilihan, yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9.

Digit ratusan hanya memiliki 5-1 = 4 pilihan.

Digit puluhan hanya memiliki 5-1-1 = 3 pilihan.

Digit satuan hanya memiliki 5-1-1-1 = 2 pilihan.

Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 4 x 3 x 2 = 120 bilangan.

2.         Aturan Penambahan

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n2 cara, kejadian ketiga secara terpisah dapat terjadi dalam n3 cara, dan seterusnya, dan kejadian ke‐p secara terpisah dapat terjadi dalam np cara, maka kejadian pertama, atau kedua, atau ketiga, ... , atau kejadian ke‐p dapat terjadi dalam (n1+n2 +n3 +...+np) cara.

Atau Jika ada A dan B yang merupakan himpunan saling lepas dengan banyak anggota himpunannya adalah x dan y, maka banyaknya cara mengambil satu anggota dari gabungan keduanya akan sama dengan x+y, dinotasikan:

Atau secara sederhana digunakan saat ada sejumlah kejadian yang tidak saling berhubungan (saling lepas). Dalam kondisi ini kejadian-kejadian tersebut dijumlahkan untuk mendapatkan total kejadian yang mungkin terjadi.

Contoh :

Dari kota P ke kota R ada beberapa jenis angkutan yang dapat digunakan. Ada 5 travel, 3 kapal laut, dan 2 pesawat terbang yang dapat dipilih. Ada berapa total cara berbeda untuk berangkat dari kota P menuju kota R?

Jawab:

 

Dalam soal di atas ketika kita memilih travel, kapal laut, maupun pesawat terbang tidak berpengaruh satu sama lain, ketiganya merupakan himpunan yang saling lepas. Sehingga ada 5+3+2 = 10 cara berbeda untuk berangkat dari kota P menuju kota R.

3.         Permutasi

Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur  k adalah

Contoh:

Di kantor pusat MNC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk mengisi kekosongan 2 kursi kepala sub dan wakil kepala sub. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

Jawab :

Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur  yang sama

Misal huruf RUMUS, maka akan ada permutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang sebenarnya merupakan 1 permutasi. Bisa dicari dengan rumus :

Sehingga:

 

jadi dari 5 huruf R U M U S bisa dibuat susunan sebanyak = 5! / 2! = 3 x 4 x 5 = 60 cara

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Dapat dicari dengan rumus (n-1)!

Contoh :

5 orang calon bupati tahun 2016 duduk disebuah meja berbentuk lingkaran untuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon bupati tersebut?

Jawab :

(5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24

4.         Kombinasi

Kombinasi adalah susunan dari sekelompok objek tanpa memperhatikan susunannya atau urutannya. Kombinasi dapat disebut pengelompokan sejumlah unsur. Di dalam kombinasi AB = BA , ABC = ACB = CBA. Banyaknya kombinasi dari k objek yang diambil dari n objek yang tersedia dinotasikan dengan _nC_k atau C ( n , k ) atau C _n,k

Contoh :

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang yang akan dipilih dari 12 pemain. Dengan berapa macam cara susunan itu dapat dipilih?

Jawab :

Susunan tersebut adalah kombinasi 5 objek dari 12 objek,sebab urutannya tidak diperhatikan.

Jadi banyaknya cara susunan itu ada 792 cara