LOGARITMA

Sejarah Fungsi Logaritma

Alasan utama ditemukannya logaritma oleh John Napier (1550 – 1617) adalah efisiensi dalam operasi hitung perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar. Mengingat belum ada alat bantu hitung seperti kalkulator dan komputer, maka untuk mengalikan dua bilangan 7 angka  memerlukan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan logaritma, kita cukup melakuakn operasi penjumlahan, yang dapat dikerjkan dengan mudah dan cepat.

Napier memerlukan waktu kerja selama 20 tahun sebelum mempublikasikan metode logaritma hasil penemuannya. Logaritma Napier menggunakan basis 0,9999999. Hasil kerja napier ini dipublikaskan oleh Henry Brigss, seorang profesor geometri di Universitas Oxford, Inggris. Napier dan Briggs kemudian mendiskusikan pengembangan dan perbaikan metode tersebut. Henry Briggslah yang mengusulkan logartima dengan basis 10 dan memberi istilah karakteristik dan mantisa untuk baian bulat dan bagian desimal logaritma suatu bilangan.

Grafik Fungsi Logaritma

Di awal Bab sebelumnya telah dibahas bahwa fungsi eksponen a^x naik untuk       a > 1   dan turun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus tersebutt, a^z adalah fungsi eksponen adalah fungsi logaritma.

Definsi

Jika  x > 0, a > 0 dan a ≠ 1, maka

            Y = ^alog x,  jika dan hanya jika a = a^y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dinyatakan sebagai            f(x) =  ^alog x

Dengan definisi tersebut memudahkan kita untuk melukiskan grafik fungsi logaritma.

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI LOGARITMA

Persamaan Logaritma

Berikut ini adalah bebeapa contoh persamaan logaritma

a.     ³log x + ³log (x + 1) = ³log 2

b.    ²log (2x – 3) + 4 = ²log (2x – 8)

c.     ^xlog (5x³ – 4) = ^xlog x⁵

d.    ⁵log² x - ⁵log x³  +  2 = 0

 Untuk menyelesaikan persamaan logaritma digunakan beberapa sifat logaritma yang telah kita pelajari di kelas X

A.   Persamaan Logaritma Berbebtuk ^alog f(x) = ^alog p

Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog p, dimana  a> 0, a ≠ 1, dan f(x), p > 0 dapat kita gunakan sifat :

^alog f(x) = ^alog p <==> f(x) = p

B.   Persamaan Logaritma Berbentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x), dimana  a> 0, a ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :

^alog f(x) = ^alog g(x)<==> f(x) = g(x)

C.   Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan Kuadrat

Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut, A ^alog² f(x) + B ^alog f(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0  serta  A, B, C € R

Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesain eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat.

D.   Persamaan Logartima Berbentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x), dimana  h(x) > 0, h(x) ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :

^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)

Pertidaksamaan Logartima

Perhatikan Gambar 7.11 berikut ini :

Untuk gambar 7.11 (a)

^½log ¼  =  2, sedangkan ^½ log ½ = 1

Ternyata :

^½log ¼ < ^½log ½  tetapi ¼ < ½

Analog :

Jika ^½log 2 > ^½ log 8 maka 2 < 8

Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut.

                            Untuk 0 < a < 1,

                            Jika ^alog x₁ > ^alog x₂^, maka x₁ < x₂

Untuk gambar 7.11 (b)

²log 4 =  2, sedangkan ² log 16 = 4

Ternyata :

²log 4 < ²log 16  dan 4 < 16

Analog :

Jika ²log 2 < ² log 32 maka 2 < 32

Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut.

                            Untuk a > 1,

                            Jika ^alog x₁ > ^alog x₂^, maka x₁ < x₂